Un Dante giocatore d’azzardo (Dante e la matematica)
di Mariam Naeem, Marta Marcone, Andrea Palombari e Ludovico Valier - IV liceo
La zara era uno dei giochi d’azzardo più diffusi nel Medioevo; ha origini molto antiche e prende nome dalla parola araba zehar, ‘dado’. Per giocare a zara servono tre dadi; due giocatori a turno dicono un numero compreso tra il 3 e il 18 e scommettono una certa somma di denaro; si lanciano i dadi: se la somma dei numeri sulle facce dei dadi è uguale a al numero scelto allora il giocatore che aveva puntato su quel numero vince tutti i soldi scommessi.

Il gioco era così popolare che ne abbiamo varie testimonianze, fra cui quella di Dante nel sesto canto del Purgatorio da cui prende le mosse il matematico Bruno D’Amore nella raccolta di racconti Dante e la matematica (Giunti 2011). Nel racconto Zara, due giovani studenti, Dante e Guido, alla ricerca di un appartamento nel centro di Bologna, si imbattono in un capannello di gente che urla numeri. Incuriositi, si avvicinano al gruppo e scoprono che stavano giocando con dei dadi: «undici» gridava uno; «sette» urlava un altro, «dieci» la folla in coro; e poi «Undici, undici, undici! Ha vinto, ha vinto!» mentre il giocatore che aveva continuato a puntare sul sette, «con una faccia triste e disperata, rigettava i dadi e diceva a sé stesso: «Ah avessi detto nove alla volta precedente, e dire che ci avevo pensato» e si dava pugni in testa. Per dirlo con i versi del Poeta:
Quando si parte il gioco de la zara,
colui che perde si riman dolente,
repetendo le volte e tristo impara»
(Purgatorio VI, 1-3)
Il vincitore invece si allontanava con tutta la vincita, raccoglieva i complimenti, si staccava di dosso le mani di chi gli afferrava i vestiti e prometteva da bere ai più insistenti:
con l'altro se ne va tutta la gente;
qual va dinanzi, e qual di dietro il prende,
e qual dallato li si reca a mente;
el non s'arresta, e questo e quello intende;
a cui porge la man, più non fa pressa;
e così da la calca si difende.
(Purgatorio VI, 4-9)
Dante osserva e capisce il meccanismo del gioco: le combinazioni possibili sono dal 3 al 18, «e queste due precisamente in una sola maniera, cioè con le tre facce uguali. Già il 4 e il 17 hanno qualche possibilità in più. Il 4 può aversi con 1, 1 e 2; 1, 2 e 1; 2, 1 e 1, dunque tre volte, e 17 pure. E così via, ogni volta ci sono possibilità in più. Dunque i numeri centrali, 10 e 11, sono i più certi. Se li giochi, vinci».
Chiede allora al povero Guido il suo denaro e decide di provare a giocare; alla prima mano vince il suo avversario puntando sul 6; quindi Dante gioca altre tre mani, alternando il 10 e l’11; Guido è teso accanto a lui, ma Dante le vince tutte.
L’arrivo repentino delle guardie comunali fa scappare tutti i giocatori in direzioni diverse; Dante, Guido e i loro compagni di fuga finiscono la loro corsa in una taverna.
Matematica e matematici ai tempi di Dante
di Ian Fulvi - IV liceo
Bruno D’Amore dedica alla matematica nella Divina commedia e ai tempi di Dante un'appendice del volume Dante e la matematica in cui presenta un repertorio delle numerose citazioni di matematici e logici presenti sia nella Commedia che nel Convivio. Per fare solo alcuni esempi, a dimostrazione della grande cultura e dell’eclettismo di Dante, troviamo nel limbo Euclide, Talete ed Eraclito; i matematici Guido Bonatti e Michele Scoto, contemporanei di Dante e presenti tra gli indovini in Inferno XX 118, furono il primo un astronomo e astrologo, mentre il secondo anche matematico e traduttore di Aristotele; i dodici libri di logica matematica di Pietro Ispano (papa Giovanni XXI) sono citati in Paradiso XII 134-135; il famoso indovinello dell’asino di Giovanni Buridano è citato in Paradiso IV 1-3.
Dante, la zara, la matematica e l’informatica
di Matheus Cappelli e Giovanni Colavero - IV liceo
Ma come ha fatto Dante a capire che erano quei due numeri, il 10 e l’11, quelli più frequenti? E soprattutto, ha ragione?
Esaminiamo il suo ragionamento e scomponiamo il suo svolgimento.
Dante dapprima afferma che «l'undici era molto più facile a uscire, o il dieci, è ovvio» e lo giustifica dicendo: «[...] se ci pensi un po’, solo da 3 a 18 si possono avere uscite, e queste due precisamente in una sola maniera, cioè con le tre facce uguali. Già 4 e 17 hanno qualche possibilità in più. Il 4 può aversi con il 1, 1 e 2; 1, 2 e 1; 2, 1 e 1 dunque tre volte, e il 17 pure. Ci pensi? E così via, ogni volta ci sono possibilità in più. Dunque i numeri centrali, 10 e 11, sono più certi».
Il suo ragionamento matematico è del tutto intuitivo poiché per ottenere 10 o 11 come somma dei tre risultati ci sono diverse possibilità. Ci fa infatti degli esempi dai quali capiamo che gli estremi sono estremamente improbabili mentre, allontanandosi da essi, le combinazioni possibili sono maggiori.
Il calcolo che Dante ha fatto per ottenere la loro probabilità è quello più basilare e conosciuto:

Di seguito sono riportati in una tabella i modi in cui si può ottenere un certo numero come somma dei risultati.
Per ogni terna di numeri che sommati danno uno stesso risultato, si considerano le permutazioni.Si sommano tutte le permutazioni ottenute.
N | probabilità | probabilità in % |
3 | 1/216 | 0.46% |
4 | 3/216 | 1.39% |
5 | 6/216 | 2.78% |
6 | 10/216 | 4.63% |
7 | 15/216 | 6.94% |
8 | 21/216 | 9.72% |
9 | 25/216 | 11.57% |
10 | 27/216 | 12.50% |
11 | 27/216 | 12.50% |
12 | 25/216 | 11.57% |
13 | 21/216 | 9.72% |
14 | 15/216 | 6.94% |
15 | 10/216 | 4.63% |
16 | 6/216 | 2.78% |
17 | 3/216 | 1.39% |
18 | 1/216 | 0.46% |
Per la legge empirica del caso, in una successione di prove fatte nelle stesse condizioni, la frequenza relativa dell'evento si avvicina alla probabilità dell'evento stesso e l'approssimazione tende a migliorare con l'aumentare del numero delle prove.
Abbiamo scritto un programma nel linguaggio di programmazione Python che simula il lancio di tre o n dadi k volte, somma i risultati , calcola la frequenza relativa e disegna l'istogramma relativo.
Per quelli che fossero interessati a vedere il codice fonte di questo programma lo può fare tramite questo link.
Il programma risulta funzionare in modo molto semplice; per analizzarlo partiamo dalla funzione main: come prima cosa viene chiesto all’utente di inserire il numero di facce del dado (6 nel nostro caso); successivamente vengono calcolate manualmente tutte le disposizioni, che in matematica indicano un raggruppamento di elementi presi da un insieme di elementi e che differiscono per ordine degli elementi e per gli elementi stessi che lo compongono (per rendere più chiaro ciò il raggruppamento [1,2,4] differisce dal raggruppamento [1,4,2] e dal raggruppamento [3,5,7]). Per calcolare le disposizioni di tre dadi a sei facce senza calcolarle a mano, possiamo applicare la seguente formula:

Nel nostro caso è pari a 6 poiché rappresenta i numeri che possono uscire da un dado e è uguale a 3 perché il numero di dadi con cui bisogna fare la somma è 3, quindi il numero di disposizioni è 63, ovvero 216; in seguito vengono sommati i dadi di ogni disposizione ottenuta, conservati in una lista (per esempio il lancio di dadi [1,2,3] mi dà somma 6) da cui poi ricaviamo una lista in cui compaiono le somme senza ripetizioni; infine, viene calcolata la probabilità tramite la formula espressa nel programma e vengono mostrati i risultati in un grafico a barre come quelli riportati qui sotto.



Dai grafici ottenuti da questo programma vediamo molto chiaramente che, indipendentemente dal numero di facce di un dado, la somma dei tre dadi che è più probabile è sempre quella al centro e che, nel caso particolare di Dante che usava una dado a 6 facce, le somme 10 e 11 sono le più probabili nel gioco della zara: così è dimostrato matematicamente il suo ragionamento.
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